Posljednja verzija rada razrađuje koncept popularne matematičke mozgalice “Koji je najkraći put između mrava i kapljice meda?”. Autor u radu u potpunosti rješava ovaj problem za pravilne prizme i valjak, pružajući detaljan matematički uvid u geometriju i analizu najkraćih puteva.
SAŽETAK
Mrav sjedi na jednoj bazi pravilne n-prizme, a kapljica meda na suprotnoj, oboje na simetrali svoje baze i na jednakoj udaljenosti od ruba. Očiti put – preko jedne baze, uz bočnu stranu, pa preko druge baze – ima duljinu D = h + b, neovisno o tome gdje se duž simetrale točke nalaze. Pitamo se kada postoji kraći put, koliko ih je, koliko su dugi i pod kojim kutom mrav treba krenuti.
Problem je riješen u potpunosti za svaki n. Jedan par formula daje duljinu i smjer svakog kandidata na svakoj pravilnoj prizmi, a valjak slijedi kao granica n → ∞. Usput se pojavljuju tri pojave koje je lako previdjeti dok se prizme obrađuju jedna po jedna: neki putevi postoje tek kad je mrav dovoljno daleko od ruba, neke prizme uopće nemaju kraći put ako nisu dovoljno visoke, a broj kraćih puteva ponaša se posve različito ovisno o tome dopuštaju li se spiralni putevi.
Tri hipoteze iskazane su u Poglavlju 10, a riješene u dodacima. Prva je dokazana; druga se pokazuje netočnom, osim u jednoj kritičnoj vrijednosti; treća je potvrđena, zajedno s asimptotskim zakonom rasta.